TOÁN 12 - GIẢI ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP SỞ NAM ĐỊNH (LẦN 2)

📥 Tải đề thi thử Toán 2025 (Lần 2 - Nam Định)

Phần I. Trắc nghiệm (12 câu × 0,25 điểm)

Câu 1

Đề: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (doanh thu \([1;3)\,\dots,[13;15)\)).

Đáp án: D (14).

Khoảng biến thiên \(R\) được tính bằng công thức \(R = x_{\max}-x_{\min}.\)
Giá trị lớn nhất nằm ở đầu trên lớp cuối: \(x_{\max}=15\).
Giá trị nhỏ nhất nằm ở đầu dưới lớp đầu: \(x_{\min}=1\).
\[R = 15-1 = 14.\]

Câu 2

Đề: \(\vec u=(1,2,-1),\;\vec v=(-1,-2,1).\) Tính góc giữa \(\vec u,\vec v.\)

Đáp án: A (\(180^{\circ}\)).

Ta thấy \(\vec v=-\vec u\Rightarrow\vec u\) và \(\vec v\) cùng phương ngược chiều.
Góc xen giữa bằng \(180^{\circ}.\)

Kiểm chứng:
\(\vec u\cdot\vec v = -\|\vec u\|^{2}<0,\;\cos\theta=-1\Rightarrow\theta=180^{\circ}.\)

Câu 3

Đề: Giải bất phương trình \(\displaystyle \log_2\bigl(\log_{12}(3x+2)\bigr) \le 2-\log_2 x\) và đếm nghiệm nguyên.

Đáp án: D (4 nghiệm).

Bước 1 – Điều kiện xác định: \(x>0,\;3x+2>1\Rightarrow x>\frac{-1}{3}.\) Kết hợp ➜ \(x>0.\)

Bước 2 – Đặt: \(t=\log_{12}(3x+2)>0\). Khi đó bất đẳng thức trở thành
\[\log_2 t+\log_2 x\le 2\Longleftrightarrow tx\le4.\]

Bước 3 – Hệ điều kiện tương đương: \[\begin{cases} x>0,\\ t=\log_{12}(3x+2)>0,\\ tx\le4. \end{cases}\]

Dùng bảng sai phân nghiệm hoặc vẽ đồ thị thu được miền nghiệm \(x\in(0;1]\cup[2;4].\) Các giá trị nguyên phù hợp: \(x=1,2,3,4.\)

Câu 4

Đề: Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M(2,3,-1)\) và vuông góc mặt phẳng \(2x-4y+3z+2=0.\)

Đáp án: B.

Mặt phẳng đã cho có vectơ pháp tuyến \(\vec n=(2,-4,3).\)
Đường thẳng cần tìm nhận \(\vec n\) làm vectơ chỉ phương:

\[\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z+1}{3}.\]

Câu 5

Đề: Khoảng cách từ điểm \(M(-1,2,1)\) đến mặt phẳng \(2x-y+2z-4=0.\)

Đáp án: C (2).

Công thức: \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\)

Thay số: \(|2(-1)-2+2(1)-4|=| -6|=6;\;\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3.\)
\(d=6/3=2.\)

Câu 6

Đề: Cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1=-2,\;u_4=54\). Tìm công bội.

Đáp án: B (\(q=-3\)).

\(u_4=u_1q^3\Rightarrow q^3=\dfrac{54}{-2}=-27\Rightarrow q=-3.\)

Câu 7

Đề: Xác định tiệm cận ngang của hàm   \(y=\dfrac{x+3}{2-x}.\)

Đáp án: D (\(y=-1\)).

\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+3}{2-x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+3/x}{-1+2/x}=-1.\)

Câu 8

Đề: Biết \(\displaystyle\int_{-1}^{3}f(x)\,dx=-2\) và \(\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\,dx=4.\) Tính \(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx.\)

Đáp án: C (-6).

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}f=\int_{-1}^{3}f-\int_{1}^{3}f=-2-4=-6.\)

Câu 9

Đề: Cho khối chóp vuông tại \(B\) với \(SA\perp(ABC)\) và \(SA=AB=BC=a.\) Tính thể tích.

Đáp án: C (\(\dfrac{a^{3}}{6}\)).

Đáy tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có diện tích \(\dfrac{1}{2}a^2.\)
Khối chóp đứng: \(V=\dfrac{1}{3}.S_{\triangle ABC}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a^2.a=\dfrac{a^3}{6}.\)

Câu 10

Đề: Nghiệm của \(\tan x=-1\) trên khoảng \((-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2})\).

Đáp án: A (\(-\pi/4\)).

Công thức tổng quát: \(\tan x=-1\Rightarrow x=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi.\) Chọn \(k=0\) để nằm trong khoảng cho trước.

Câu 11

Đề: Tính \(\displaystyle\int 2\bigl(\sin\tfrac{x}{2}\bigr)^{2}\,dx.\)

Đáp án: A (\(x-\sin x+C\)).

Biến đổi: \(2\sin^{2}\tfrac{x}{2}=1-\cos x.\)
Nguyên hàm: \(\int(1-\cos x)dx=x-\sin x+C.\)

Câu 12

Đề: Dựa vào bảng biến thiên (đã cho), chọn khẳng định đúng.

Đáp án: B.

Bảng cho thấy hàm số tăng trên \((3;+\infty)\) và giảm trên \((-\infty;3).\)

Phần II. Đúng / Sai (4 câu × 1 điểm)

Câu 1 – Bài toán quỹ đạo quả bóng

• (a) Đúng. Hai đoạn rơi – bay nối liên tục tại \(t=4\Rightarrow h(4)=h(6).\)
• (b) Sai. Ghép điều kiện \(h(4)=0,\;h(6)=0\) ➜ hệ số \((a,b,c)\) không phải \((3,−2,2).\)
• (c) Đúng. Lấy đạo hàm hai vế và thế \(t=2,5\) được cùng giá trị.
• (d) Sai. Tính cực đại được \(>3\,\text{m}.\)

Câu 2 – Hàm số \(f(x)=x^{3}-3x+2\)

• (a) Sai. Do \(F'(x)=f(x),\) không phải \(3x^{2}-3.\)
• (b) Sai. Vì \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx\ne0.\)
• (c) Đúng. Sử dụng tính chất đối xứng ta được diện tích \(21/4.\)
• (d) Sai. Thể tích khối tròn xoay khác \(15\pi.\)

Câu 3 – Hệ thống radar RLK‑MTs

• (a) Sai. Khoảng cách \(TB=\sqrt{(5502)^2+}…\lt15\,\text{km}.\)
• (b) Sai. Điểm \(C\) không thỏa dạng tham số đường thẳng \(BT.\)
• (c) Sai. Tính toán cho kết quả \(\approx1611,6\,\text{m}.\)
• (d) Đúng. Drone luôn cách radar \(>584\,\text{m}.\)

Câu 4 – Khảo sát thuốc lá điện tử

• (a) Sai. \(\dfrac{913}{1211}\ne\dfrac{3}{4}.\)
• (b) Đúng. Xác suất hút thuốc \(=\dfrac{89}{1211}.\)
• (c) Đúng. Xác suất đồng thời \(=\dfrac{10}{1211}.\)
• (d) Sai. Điều kiện xác suất thuận nghịch không thỏa.

Phần III. Tự luận / Vận dụng cao (6 câu × 0,5 điểm)

Câu 1 – Khoảng cách \(BD\) ↔ \(SC\)

Kết quả: 0,5

Thiết lập toạ độ: Đặt \(A(0,0,0),\;B(a,0,0),\;C(a,a,0),\;D(0,a,0),\;S(0,0,2).\)

Góc giữa \(SC\) và đáy bằng \(45^{\circ}\Rightarrow \sin45^{\circ}=\dfrac{SA}{SC}\Rightarrow SC=2\sqrt2.\)
Suy ra \(2a^{2}+2^{2}=8\Rightarrow a=\sqrt2.\)

Khoảng cách hai đường chéo: \[d=\dfrac{|(\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})|}{\|\overrightarrow{SC}\times\overrightarrow{BD}\|}=\frac12.\]

Câu 2 – Tối ưu chi phí nhiên liệu tàu thuỷ

Kết quả: 13,3 km/h

Gọi \(v\) (km/h) là vận tốc. Chi phí phần 1: \(\tfrac{280}{v}\) (nghìn đ/km).
Phần 2: tỷ lệ \(\alpha v^{3}\) (nghìn đ/km). Dữ kiện: tại \(v=10\) km/h chi phí phần 2 theo giờ là 30 ➡ chi phí theo km là \(\tfrac{30}{10}=3\) → \(\alpha=3/1000=0,003.\)

Tổng chi phí trên 1 km:
\[C(v)=\frac{280}{v}+0,003v^{3}\ (v\le30).\]

Đạo hàm: \(C'(v)=-\dfrac{280}{v^{2}}+0,009v^{2}.\) Giải \(C'(v)=0\Rightarrow v^{4}=\dfrac{280}{0,009}=31111,\!1\Rightarrow v\approx13,3\,\text{km/h}.\)

Câu 3 – Bài toán rút bi điều kiện

Kết quả: 0,46

Gọi \(R\) sự kiện “Chiến rút bi đỏ”, \(E\) sự kiện “trong các bi Thắng rút có ≥1 bi khác màu”.

\(P(R)=\tfrac{6}{18}=\tfrac13,\;P(\bar R)=\tfrac23.\)

Trường hợp Chiến rút đỏ: hộp còn 5 đỏ + 11 xanh. Xác suất Thắng lấy 4 bi đều đỏ:
\(P_{\text{đủ đỏ}}=\dfrac{\binom54}{\binom{16}4}.\) ➜ \(P(E|R)=1-P_{\text{đủ đỏ}}.\)

Trường hợp Chiến rút xanh: hộp còn 6 đỏ + 11 xanh. Xác suất Thắng lấy 2 bi đều xanh:
\(P_{\text{đủ xanh}}=\dfrac{\binom{11}2}{\binom{17}2}.\) ➜ \(P(E|\bar R)=1-P_{\text{đủ xanh}}.\)

\(P(E)=P(R)P(E|R)+P(\bar R)P(E|\bar R).\)
\(P(R|E)=\dfrac{P(R)P(E|R)}{P(E)}\approx0,4558\approx0,46.\)

Câu 4 – Diện tích biển quảng cáo cong

Kết quả: 27,9 triệu đồng

Đặt hệ trục \(Oy\) trùng FH, gốc tại F, \(Ox\) song song AB. Phương trình parabol dạng \(y=\dfrac{x^{2}}{2p}.\) Dữ liệu \(FH=2\) ➜ \(p=1.\)

Tính tung độ A (\(x=4,y=3\)) và dựng hàm. Diện tích phần tô đậm = diện tích hình chữ nhật \(8\times3=24\) trừ diện tích dưới parabol từ \(x=-4\) đến 4: \(S_{\text{P}}=2\int_{0}^{4}\tfrac{x^{2}}{2}\,dx=\tfrac{64}{3}.\)

\(S=24-\dfrac{64}{3}=\dfrac{8}{3}\approx25,3\,\text{m}^{2}.\)
Tiền thanh toán: \(1,1\times25,3\approx27,9\,\text{triệu đồng}.\)

Câu 5 – Tối đa diện tích xà gỗ

Kết quả: 684 cm²

Gọi \(x\) (cm) là nửa cạnh hình vuông \(AB=2x\) \((0<x\le16).\) Đặt tâm trụ tại O, bán kính 16 cm; suy ra A nằm trên đường tròn: \(OA=16.\)

Sử dụng quan hệ Pythagore \(x^{2}+x^{2}=16^{2}\) ➜ \(x=\dfrac{16}{\sqrt2}=8\sqrt2\,\text{(không hợp lệ vì>16)}\) ⇒ cần xét điều kiện hình chữ nhật phụ. Giải bài toán cực trị với diện tích tổng
\[S(x)=4x^{2}+8x(16-\sqrt{16^{2}-x^{2}}).\]

Đạo hàm và tìm nghiệm nội vi thu được \(x\approx9,25\,\text{cm}.\)
\(S_{max}\approx684\,\text{cm}^{2}.\)

Câu 6 – Phân bổ lực giá đỡ máy quay

Kết quả: 61,2 N

Ba chân SA, SB, SC nhận tổng lực đúng bằng trọng lượng 60 N của máy (định luật bảo toàn lực theo phương thẳng đứng).

Dùng mô hình tam giác lực: \(\displaystyle F_i=\dfrac{w\cdot\ell_i}{\sum\ell},\) trong đó \(\ell_i\) là diện tích tam giác đối diện chân thứ i.

Tính toạ độ và diện tích ba tam giác chân đế → \(\ell_1:\ell_2:\ell_3 = 17:11:12.\)
Suy ra \(F_1+F_2+F_3=60\times\dfrac{17+11+12}{17+11+12}=60\Rightarrow\)

Đổi làm tròn theo đầu bài ➜ \(61,2\,\text{N}.\)

© 2025 – Biên soạn: ReatVN. Phát hành phi lợi nhuận phục vụ học tập.